Dados dois pontos, há uma única reta que passa por eles. Esse é um resultado da geometria que é conhecido há milênios.
Depois da adoção da geometria analítica, com René Descartes, o resultado anterior gerou a seguinte implicação: dados dois pontos no espaço, há uma equação vetorial que descreve a reta que os contém.A equação vetorial da reta terá a forma P em que V é o denominado vetor diretor da reta r, t é um número real e P é um dos pontos de r.Suponha que a reta que passa pelos pontos A(2,4,5) e B(9,-2,6) seja r. Qual a equação vetorial dessa reta? E a equação da reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto C(4,-5,2) e intercepta a reta r em um ponto
RESPOSTA:
A(2, 4, 5)
B(9. -2. 6)
equação vetorial da reta r:
A = (2, 4, 5)
AB = B - A = (9 - 2, -2 - 4, 6 - 5) = (7, -6 , 1)
equação
(x,y,z) = (2, 4, 5) + (7, -6, 1)*t
x = 2 + 7t
y = 4 - 6t
z = 5 + t
A equação da reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto C(4,-5,2).Para determinar a equação vetorial da reta s, precisamos de um vetor
diretor. Vamos considerar esse vetor como tendo origem (7k+2, -6k+4, k+5) .
Precisa determinar um vetor diretor u.
u = c-v
c(4,-5,2) v(7k+2, -6k+4, k+5);
u = c - v = (7k-2, -6k+9, k+3)
Como s e r devem ser ortogonais w.AB = 0
AB = (7,-6,1)
produto escalar r*u = 0
(7,-6,1)*(7k-2, -6k+9, k+3) = 0
49k - 14 + 36k - 54 + k + 3 = 0
86k - 65 = 0
k = 65/86
u = (283/86, 384/86, 323/86)
reta s(t)
s(t) = u + c*t
s(t)= (283/86, 384/86, 323/86) + (4,-5,2)*t
